Упр.272 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.
2. Задание учебника 2023 года. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно 6 см. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$.

Пусть в равностороннем треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AD$$, а $$DH$$ — расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$, то есть $$DH \perp AC$$ и $$DH=6$$ см.

Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, то

$$\angle A=60^\circ.$$

Поскольку $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, получаем

$$\angle HAD=\frac{\angle A}{2}=30^\circ.$$

Треугольник $$ADH$$ прямоугольный, так как $$DH \perp AC$$ и точка $$H$$ лежит на прямой $$AC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADH$$ угол $$\angle HAD=30^\circ$$, а сторона $$DH$$ лежит против угла $$30^\circ$$. Значит, гипотенуза вдвое больше катета:

$$AD=2\cdot DH=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12$$ см.