Упр.271 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что $$ОА=ОВ$$. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.
2. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна $$17\text{ см}$$, а разность длин равна $$1\text{ см}$$. Найдите расстояние от точки до прямой.

Обозначим $$OA=OB.$$ Рассмотрим треугольники $$OAC$$ и $$OBC$$.

Так как по условию прямые, проведённые через точки $$A$$ и $$B$$, перпендикулярны сторонам угла, то

$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ.$$

Кроме того, $$OC$$ — общая сторона, а $$OA=OB$$. Значит, прямоугольные треугольники $$OAC$$ и $$OBC$$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что

$$\angle AOC=\angle COB.$$

Следовательно, луч $$OC$$ делит угол $$O$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$O$$.

Ответ

$$OC$$ — биссектриса угла $$O$$.