Упр.270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведены биссектриса $$AF$$ и высота $$AH$$. Найдите углы треугольника $$AHF$$, если $$\angle B=112^\circ$$.
2. Внутри угла дана точка $$A$$. Постройте прямую, проходящую через точку $$A$$ и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle A=\angle C$$.

Найдём углы при основании:

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-112^\circ}{2}=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ.$$

Поскольку $$AF$$ — биссектриса угла $$A$$, получаем:

$$\angle BAF=\angle FAC=\frac{34^\circ}{2}=17^\circ.$$

Точка $$H$$ лежит на высоте $$AH$$, значит $$AH\perp BC$$. Так как точки $$B, F, C$$ лежат на одной прямой, то $$HF$$ — часть прямой $$BC$$, следовательно, $$AH\perp HF$$ и

$$\angle AHF=90^\circ-\angle HFA.$$

Рассмотрим треугольник $$AHF$$. В нём угол при вершине $$F$$ равен

$$\angle HFA=180^\circ-(112^\circ+17^\circ)=51^\circ.$$

Тогда

$$\angle HAF=90^\circ-51^\circ=39^\circ.$$

Итак, углы треугольника $$AHF$$:

$$\angle HAF=39^\circ,\quad \angle HFA=51^\circ,\quad \angle AHF=90^\circ.$$

Ответ: $$\angle HAF=39^\circ,\ \angle HFA=51^\circ,\ \angle AHF=90^\circ.$$