Упр.269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите угол $$AMB$$, если угол $$A=55^\circ$$, угол $$B=67^\circ$$.
2. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равен треугольнику $$A_1B_1C_1$$, если угол $$A$$ равен углу $$A_1$$, угол $$B$$ равен углу $$B_1$$ и $$BH=B_1H_1$$, где $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Так как $$AA_1 \perp BC$$ и $$BB_1 \perp AC$$, то угол между прямыми $$AB$$ и $$BB_1$$ дополняет угол $$A$$ до $$90^\circ$$:

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle A=90^\circ-55^\circ=35^\circ.$$

Аналогично, угол между прямыми $$BA$$ и $$AA_1$$ равен:

$$\angle BAA_1=90^\circ-\angle B=90^\circ-67^\circ=23^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AMB$$. Его углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ равны найденным углам, поэтому

$$\angle AMB=180^\circ-\angle ABB_1-\angle BAA_1.$$

Подставим значения:

$$\angle AMB=180^\circ-35^\circ-23^\circ=122^\circ.$$

Ответ

$$122^\circ$$