Упр.268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Высоты, проведённые к боковым сторонам $$AB$$ и $$AC$$ остроугольного равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы треугольника, если $$\angle BMC=140^\circ$$.
- Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
Обозначим углы треугольника $$ABC$$ через $$\angle A$$, $$\angle B$$ и $$\angle C$$. Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то
$$\angle B=\angle C.$$
Пусть $$BD$$ и $$CF$$ — высоты, проведённые к боковым сторонам $$AC$$ и $$AB$$ соответственно, а точка $$M$$ — их пересечение.
Рассмотрим четырёхугольник $$BDMC$$. В нём
$$\angle BDC=90^\circ,\qquad \angle BFC=90^\circ,$$
поэтому точки $$B, D, M, C$$ лежат на одной окружности с диаметром $$BC$$, а углы при точке $$M$$ и при точках $$B, C$$ связаны свойствами вписанных углов. Угол между высотами равен
$$\angle BMC=140^\circ.$$
Тогда смежный с ним угол
$$\angle DMB=180^\circ-140^\circ=40^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$DBM$$ имеем
$$\angle BDM=90^\circ,$$
следовательно,
$$\angle DBM=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ.$$
Но $$\angle DBM=\angle B$$, так как $$BD \perp AC$$ и угол между $$BD$$ и $$BM$$ дополняет угол между высотами до прямого. Значит,
$$\angle B=50^\circ.$$
Так как $$\angle B=\angle C$$, то
$$\angle C=50^\circ.$$
Тогда по сумме углов треугольника
$$\angle A=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ.$$
Ответ
$$\angle A=80^\circ,\ \angle B=\angle C=50^\circ.$$
