Упр.268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Подробный ответ

Пусть $$D$$ и $$F$$ — основания высот, проведённых из точек $$C$$ и $$B$$ к сторонам $$AB$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда $$CD \perp AB$$ и $$BF \perp AC$$, а точка $$M$$ — их пересечение.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle B=\angle C$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$BDFC$$. В нём

$$\angle BDC=90^\circ,\qquad \angle BFC=90^\circ.$$

Следовательно, точки $$B, D, M, C$$ лежат на одной прямой? Нет, здесь удобнее использовать углы при пересечении высот.

Так как $$CD \perp AB$$ и $$BF \perp AC$$, то угол между прямыми $$CD$$ и $$BF$$ равен углу между прямыми $$AB$$ и $$AC$$, то есть

$$\angle DMB=\angle A.$$

Но $$\angle BMC=140^\circ$$, значит смежный с ним угол

$$\angle DMB=180^\circ-140^\circ=40^\circ.$$

Отсюда

$$\angle A=40^\circ.$$

Тогда сумма углов треугольника даёт

$$\angle B+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ.$$

Так как $$\angle B=\angle C$$, получаем

$$\angle B=\angle C=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ.$$

Итак, $$\angle A=40^\circ,\ \angle B=\angle C=70^\circ.$$

Сформулируем и докажем признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Утверждение. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — прямоугольные, причём $$\angle C=\angle C_1=90^\circ$$, $$AC=A_1C_1$$ и $$\angle B=\angle B_1$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках

$$\angle A=90^\circ-\angle B,\qquad \angle A_1=90^\circ-\angle B_1.$$

Из равенства $$\angle B=\angle B_1$$ следует, что $$\angle A=\angle A_1$$. Значит, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны сторона $$AC=A_1C_1$$ и прилежащие к ней углы $$\angle A=\angle A_1$$, $$\angle C=\angle C_1$$. Следовательно,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$