Упр.266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.
1) Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=BC$$. Тогда углы при основании равны:
$$\angle A=\angle C.$$
Пусть $$AD$$ и $$CF$$ — высоты, проведённые из вершин основания $$A$$ и $$C$$ соответственно, то есть
$$AD\perp BC,\qquad CF\perp AB.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AFC$$.
У них:
- $$AC$$ — общая гипотенуза;
- $$\angle ACD=\angle CAF$$, так как $$\angle A=\angle C$$ и стороны $$CD$$ и $$AF$$ перпендикулярны соответственно $$AB$$ и $$BC$$.
Следовательно, $$\triangle ADC \cong \triangle AFC$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, соответствующие катеты равны:
$$CD=AF.$$
Итак, высоты, проведённые из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.
2) Пусть на сторонах угла $$O$$ отмечены точки $$A$$ и $$B$$ так, что $$OA=OB$$. Через них проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла, и они пересекаются в точке $$C$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$.
У них:
- $$OC$$ — общая гипотенуза;
- $$OA=OB$$ по условию;
- $$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle OAC \cong \triangle OBC$$ по гипотенузе и катету. Тогда
$$\angle AOC=\angle COB.$$
Значит, луч $$OC$$ делит угол $$O$$ пополам, то есть является биссектрисой.
Ответ
$$CD=AF$$; луч $$OC$$ — биссектриса угла $$O$$.
