Упр.264 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $$120^\circ$$. Высота, проведённая к боковой стороне, равна $$9\ \text{см}$$. Найдите основание треугольника.
2. Высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите угол $$AMB$$, если $$\angle A=55^\circ$$, $$\angle B=67^\circ$$.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$\angle B=120^\circ$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Проведём высоту $$AH$$ к боковой стороне $$BC$$. Тогда $$AH\perp BC$$, значит в прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол при вершине $$B$$ равен

$$\angle ABH=180^\circ-120^\circ=60^\circ,$$

а потому

$$\angle BAH=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle HAC=\angle BAH+\angle BAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHC$$ имеем

$$\angle ACH=30^\circ,$$

поэтому

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 9=18\text{ см}.$$

Ответ

$$18\text{ см}$$