Упр.263 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если АВ = 12 см. Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=AC=12\text{ см}, \qquad \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DMC$$. Поскольку $$DM \perp AC$$, а $$DC$$ лежит на стороне $$BC$$ равностороннего треугольника, то угол при вершине $$C$$ равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle MDC=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$DMC$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, поэтому

$$MC=\frac{1}{2}DC.$$

Так как $$D$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$DC=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Следовательно,

$$MC=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

4) Тогда

$$AM=AC-MC=12-3=9\text{ см}.$$