Упр.262 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ=18см. Найдите АС и АВ. В треугольниках ABC и A1B1C1 углы А и А1 — прямые, BD и B1D1 — биссектрисы. Докажите, что треугольникАВС = треугольникА1В1С1, если угол B=угол B1 и BD = B1D1.

1) Так как $$\angle BAC$$ и внешний угол $$\angle BAD$$ — смежные, то

$$\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle C=90^\circ$$, значит

$$\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, поэтому

$$AC=\frac{AB}{2}.$$

По условию

$$AC+AB=18.$$

Подставим $$AC=\frac{AB}{2}$$:

$$\frac{AB}{2}+AB=18,$$
$$\frac{3}{2}AB=18,$$
$$AB=12.$$

Тогда

$$AC=18-12=6.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$.

Так как $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — биссектрисы, а $$\angle B=\angle B_1$$, то

$$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1.$$

Кроме того, $$\angle A=\angle A_1=90^\circ$$ и по условию $$BD=B_1D_1$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$ по гипотенузе и острому углу, откуда

$$AB=A_1B_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$\angle A=\angle A_1,\quad AB=A_1B_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ

$$AC=6\text{ см},\quad AB=12\text{ см};\quad \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$