Упр.261 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

1) В прямоугольном треугольнике $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle A=60^\circ$$, значит

$$\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Катет $$AC$$ лежит против угла $$30^\circ$$, поэтому в прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы:

$$AC=\frac{AB}{2}.$$

По условию

$$AB+AC=26{,}4.$$

Подставим $$AC=\frac{AB}{2}$$:

$$AB+\frac{AB}{2}=26{,}4,$$

$$\frac{3}{2}AB=26{,}4,$$

$$AB=26{,}4:\frac{3}{2}=26{,}4\cdot\frac{2}{3}=17{,}6.$$

Следовательно, гипотенуза равна $$17{,}6$$ см.

2) Докажем, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Пусть $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC$$. Проведём высоты $$AD \perp BC$$ и $$CF \perp AB$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AFC$$.

У них:

• $$\angle ADC=\angle AFC=90^\circ$$;
• $$AC$$ — общая гипотенуза;
• $$\angle ACD=\angle CAF$$, так как в равнобедренном треугольнике $$\angle A=\angle C$$.

Значит, $$\triangle ADC \cong \triangle AFC$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда соответствующие катеты равны:

$$CD=AF.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB=17{,}6\text{ см}.$$ В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.