Упр.259 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
2. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $$120^\circ$$. Высота, проведённая к боковой стороне, равна $$9\ \text{см}$$. Найдите основание треугольника.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, $$\angle B=120^\circ$$. Проведём высоту $$AH$$ к боковой стороне $$BC$$, тогда $$AH\perp BC$$ и $$AH=9$$ см.

Найдём углы треугольника:

$$\angle AHB=90^\circ-120^\circ+90^\circ=60^\circ$$

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AHC$$ угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle HAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AHC$$ — прямоугольный с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$, $$90^\circ$$. В таком треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, значит

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 9=18\text{ см}.$$

Ответ

$$AC=18\text{ см}.$$