Упр.259 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, причём $$AB=BC$$, $$\angle B=120^\circ$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Проведём высоту $$AH\perp BC$$, где $$AH=9$$ см. В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ угол при вершине $$B$$ равен $$120^\circ$$, значит смежный с ним угол

$$\angle HBA=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AHB$$

$$\angle HAB=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle HAC=\angle HAB+\angle BAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$. В нём $$\angle AHC=90^\circ$$, $$\angle HAC=60^\circ$$, значит $$\angle ACH=30^\circ$$, и это треугольник $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$. Поэтому гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против угла $$30^\circ$$:

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 9=18\text{ см}.$$

Ответ

$$18\text{ см}$$