Упр.257 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ=18см. Найдите АС и АВ.
1) Пусть внешний угол при одной вершине равен внешнему углу при другой вершине. Тогда соответствующие внутренние углы треугольника, смежные с ними, тоже равны, а значит, треугольник равнобедренный.
Пусть одна из сторон равна $$16$$ см. Тогда это может быть либо основание, либо боковая сторона.
Случай 1. Основание равно $$16$$ см. Тогда две боковые стороны равны между собой и
$$ AB=BC=\frac{74-16}{2}=29 $$
Проверка выполняется, значит, этот случай подходит.
Случай 2. Боковая сторона равна $$16$$ см. Тогда вторая боковая сторона тоже равна $$16$$ см, а основание
$$ AC=74-16-16=42 $$
Но тогда неравенство треугольника нарушается, так как
$$ 16+16 \not> 42 $$
Следовательно, этот случай невозможен.
Значит, две другие стороны равны $$29$$ см и $$29$$ см.
2) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, а внешний угол при вершине $$A$$ равен $$120^\circ$$.
Тогда внутренний угол при вершине $$A$$:
$$ \angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ $$
Так как $$\angle C=90^\circ$$, то
$$ \angle B=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ $$
В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен $$30^\circ$$, то против него лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит,
$$ AC=\frac{AB}{2} $$
По условию:
$$ AC+AB=18 $$
Подставим $$AC=\frac{AB}{2}$$:
$$ \frac{AB}{2}+AB=18 $$
$$ \frac{3}{2}AB=18 $$
$$ AB=12 $$
Тогда
$$ AC=18-12=6 $$
Ответ
1) $$29$$ см и $$29$$ см; 2) $$AC=6$$ см, $$AB=12$$ см.
