Упр.247 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
- На рисунке 130 $$AB = AC$$, $$AP = AQ$$. Докажите, что:
а) треугольник $$BOC$$ — равнобедренный;
б) прямая $$OA$$ проходит через середину основания $$BC$$ и перпендикулярна к нему.
Пусть $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$\angle BCE$$ треугольника $$ABC$$, причём $$AB \parallel CD$$.
Рассмотрим прямые $$AB$$ и $$CD$$ как параллельные, а прямую $$BC$$ — как секущую. Тогда
$$\angle DCB=\angle CBA$$
как накрест лежащие углы.
Теперь рассмотрим прямые $$AB$$ и $$CD$$ как параллельные, а прямую $$AC$$ — как секущую. Получаем
$$\angle BAC=\angle ECD$$
как соответственные углы.
Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$\angle BCE$$, то
$$\angle DCB=\angle DCE.$$
Но $$\angle DCB=\angle CBA$$, значит
$$\angle CBA=\angle DCE.$$
Кроме того, из равенства $$\angle BAC=\angle ECD$$ и того, что $$\angle DCE$$ и $$\angle ECD$$ — один и тот же угол, получаем
$$\angle BAC=\angle CBA.$$
Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, значит, он равнобедренный:
$$AC=BC.$$
Таким образом, если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
