Упр.247 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный. На рисунке 130 АВ = АС, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС — равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Подробный ответ

Пусть $$\angle BOC$$ — внешний угол треугольника $$ABC$$, а $$OA$$ — его биссектриса. По условию $$OA \parallel BC$$.

Рассмотрим прямые $$AB$$ и $$OA$$, пересечённые секущей $$BC$$. Тогда

$$\angle ABO=\angle BOC$$

как накрест лежащие. Аналогично, при пересечении прямых $$AC$$ и $$OA$$ секущей $$BC$$ получаем

$$\angle ACO=\angle OCB$$

как накрест лежащие.

Так как $$OA$$ — биссектриса внешнего угла, то

$$\angle BOA=\angle AOC.$$

Из равенства соответствующих углов следует, что

$$\angle ABC=\angle ACB.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то есть

$$AB=AC.$$

Если в треугольнике $$ABC$$ дано $$AB=AC$$, то он равнобедренный с основанием $$BC$$. Тогда биссектриса $$AO$$, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию, является одновременно медианой и высотой. Значит, точка $$O$$ — середина стороны $$BC$$, а прямая $$AO$$ перпендикулярна $$BC$$.

Итак, $$BO=OC$$ и $$AO\perp BC$$.