Упр.246 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный. На рисунке 129 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника ABC, ОЕ || АВ, OD || АС. Докажите, что периметр треугольника EDO равен длине отрезка ВС.

1) Рассмотрим прямую $$MN$$, параллельную основанию $$CB$$. Тогда при секущей $$CN$$ получаем

$$\angle ANM=\angle NCB$$

как соответственные углы.

2) При секущей $$BM$$ имеем

$$\angle AMN=\angle MBC$$

как соответственные углы.

3) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то

$$\angle C=\angle B.$$

Следовательно,

$$\angle ANM=\angle NCB=\angle C=\angle B=\angle MBC=\angle AMN.$$

Значит, в треугольнике $$AMN$$ равны углы при вершинах $$N$$ и $$M$$, поэтому $$\triangle AMN$$ равнобедренный.

4) Теперь докажем, что $$P_{EDO}=BC$$.

Так как $$OE \parallel AB$$, а $$BO$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABO=\angle OBE,$$

а также

$$\angle ABO=\angle BOE$$

как накрест лежащие углы. Значит,

$$\angle OBE=\angle BOE,$$

следовательно, $$\triangle BOE$$ равнобедренный, и потому

$$BE=EO.$$

5) Аналогично, так как $$OD \parallel AC$$, а $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle DCO=\angle OCD,$$

а также

$$\angle DOC=\angle OCA$$

как накрест лежащие углы. Тогда

$$\angle DOC=\angle DCO,$$

следовательно, $$\triangle DOC$$ равнобедренный, и потому

$$OD=DC.$$

6) Тогда периметр треугольника $$EDO$$ равен

$$P_{EDO}=ED+DO+OE.$$

С другой стороны, отрезок $$BC$$ состоит из частей $$BE$$, $$ED$$ и $$DC$$, значит

$$BC=BE+ED+DC=EO+ED+OD.$$

Следовательно,

$$P_{EDO}=BC.$$

Ответ

$$\triangle AMN$$ равнобедренный; $$P_{EDO}=BC.$$