Упр.243 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1 и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что AC = AD.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию он равнобедренный, значит $$AB=BC$$, а углы при основании равны: $$\angle A=\angle C$$.

Пусть через вершину $$C$$ проведена прямая $$CD$$, параллельная биссектрисе $$AA_1$$, и точка $$D$$ лежит на прямой $$AB$$. Докажем, что $$AC=AD$$.

Так как $$AA_1 \parallel CD$$, а $$AC$$ — секущая, то

$$\angle A_1AC=\angle ACD$$

как накрест лежащие углы.

Кроме того, так как $$AA_1 \parallel CD$$, а $$AD$$ — секущая, то

$$\angle BAA_1=\angle ADC$$

как соответственные углы.

Но $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, значит

$$\angle BAA_1=\angle A_1AC.$$

Следовательно,

$$\angle ACD=\angle ADC.$$

Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, поэтому его боковые стороны равны:

$$AC=AD.$$

Ответ

$$AC=AD$$.