Упр.241 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сравните углы треугольника $$ABC$$ и выясните, может ли быть угол $$A$$ тупым, если: а) $$AB > BC > AC$$; б) $$AB = AC < BC$$.
2. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекает боковые стороны $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ равнобедренный.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание равно $$BC$$, то есть $$AB=AC$$. Проведена прямая $$a$$, параллельная основанию $$BC$$, которая пересекает боковые стороны $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$.

Рассмотрим углы треугольника $$AMN$$.

Так как $$MN \parallel BC$$, а $$AN$$ лежит на прямой $$AC$$, то

$$\angle ANM=\angle ACB$$

как соответственные углы. Аналогично, так как $$MN \parallel BC$$, а $$AM$$ лежит на прямой $$AB$$, получаем

$$\angle AMN=\angle ABC.$$

Но в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны:

$$\angle ABC=\angle ACB.$$

Следовательно,

$$\angle AMN=\angle ANM.$$

Значит, в треугольнике $$AMN$$ равны два угла, а поэтому он равнобедренный. Причём

$$AM=AN.$$

Ответ: $$\triangle AMN$$ равнобедренный, $$AM=AN$$.