Упр.241 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ > ВС > АС; б) АВ = АС<ВС. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Подробный ответ

а) Если бы $$\angle A$$ был тупым, то $$\angle A>90^\circ$$. В треугольнике только один угол может быть больше $$90^\circ$$.

По условию $$AB>BC>AC$$, значит, против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, $$\angle C>\angle A$$. Тогда из $$\angle A>90^\circ$$ получаем $$\angle C>90^\circ$$, что невозможно.

Значит, $$\angle A$$ не может быть тупым.

б) Так как $$AB=AC<BC$$, то $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$. Поэтому $$\angle B=\angle C$$.

Поскольку $$NM \parallel BC$$, то

$$\angle ANM=\angle ACB$$

как соответственные углы, а также

$$\angle AMN=\angle ABC$$

как соответственные углы.

Но $$\angle ABC=\angle ACB$$, значит

$$\angle ANM=\angle AMN.$$

Следовательно, в треугольнике $$AMN$$ равны два угла, а значит, он равнобедренный.