Упр.239 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Подробный ответ

Обозначим внешний угол при одной из вершин равнобедренного треугольника через $$115^\circ$$. Тогда смежный с ним внутренний угол равен

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ.$$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит оба угла при основании равны $$65^\circ$$.

Тогда третий угол треугольника:

$$180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ.$$

Следовательно, углы треугольника равны $$65^\circ,\ 65^\circ,\ 50^\circ$$.

Докажем, что медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины. Пусть в треугольнике $$ABC$$ из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$ проведены медиана $$BD$$ и высота $$BK$$, где $$D$$ — середина $$AC$$, а $$K$$ — основание перпендикуляра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BKC$$. В нём $$BC$$ — гипотенуза, значит

$$BK<BC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BDC$$. Так как $$D$$ — середина $$AC$$, то $$DC=\dfrac{AC}{2}$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому в случае равнобедренного треугольника $$BD=BK$$. В общем случае точка $$D$$ лежит дальше от вершины $$B$$, чем основание высоты $$K$$, следовательно, отрезок $$BD$$ не короче $$BK$$.

Итак,

$$BD\ge BK.$$