Упр.226 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны треугольник $$ABC$$ и точки $$M$$ и $$N$$ такие, что середина отрезка $$BM$$ совпадает с серединой стороны $$AC$$, а середина отрезка $$CN$$ — с серединой стороны $$AB$$. Докажите, что точки $$M$$, $$N$$ и $$A$$ лежат на одной прямой.
- Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$BM$$, а $$F$$ — середина отрезка $$CN$$. По условию $$E$$ также является серединой стороны $$AC$$, а $$F$$ — серединой стороны $$AB$$.
Рассмотрим треугольники $$CBF$$ и $$FNA$$. Имеем:
- $$BF=FA$$;
- $$CF=FN$$;
- $$\angle BFC=\angle NFA$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle CBF \cong \triangle FNA$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle BCF=\angle FNA,\qquad \angle CBF=\angle FAN.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AME$$ и $$BEC$$. Имеем:
- $$BE=EM$$;
- $$CE=EA$$;
- $$\angle BEC=\angle AEM$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle AME \cong \triangle BEC$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$\angle BCE=\angle EAM,\qquad \angle CBE=\angle EMA.$$
Так как точки $$B, C, N$$ лежат на одной прямой, а $$CF$$ и $$FN$$ — секущая, то
$$\angle BCF=\angle FNA,$$
откуда по признаку параллельности прямых получаем $$BC \parallel AN$$.
Аналогично, из равенства углов
$$\angle CBE=\angle EMA$$
следует, что $$BC \parallel AM$$.
Через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$BC$$. Значит, прямые $$AM$$ и $$AN$$ совпадают. Следовательно, точки $$A$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.
