Упр.226 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ середину отрезка $$BM$$, а через $$F$$ — середину отрезка $$CN$$. По условию $$E$$ также является серединой стороны $$AC$$, а $$F$$ — серединой стороны $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$CBF$$ и $$FNA$$. Имеем:

$$BF=FA,$$

$$CF=FN,$$

$$\angle BFC=\angle NFA$$

как вертикальные углы. Значит, $$\triangle CBF \cong \triangle FNA$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle BCF=\angle FNA,$$

$$\angle CBF=\angle FAN.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AME$$ и $$BEC$$. Имеем:

$$BE=EM,$$

$$CE=EA,$$

$$\angle BEC=\angle AEM$$

как вертикальные углы. Следовательно, $$\triangle AME \cong \triangle BEC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle BCE=\angle EAM,$$

$$\angle CBE=\angle EMA.$$

Так как точки $$C, E, A$$ лежат на одной прямой, а точки $$B, E, M$$ — на одной прямой, то углы $$\angle BCE$$ и $$\angle BCF$$, а также $$\angle EAM$$ и $$\angle FAN$$ позволяют получить:

$$BC \parallel AN,$$

$$BC \parallel AM.$$

Через точку $$A$$ проходит только одна прямая, параллельная прямой $$BC$$. Значит, прямые $$AM$$ и $$AN$$ совпадают. Следовательно, точки $$A$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что углы при основании равнобедренного треугольника острые. Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC$$, тогда $$\angle A=\angle C$$. Предположим, что эти углы не острые. Тогда либо

$$\angle A=\angle C=90^\circ,$$

либо

$$\angle A=\angle C>90^\circ.$$

Во втором случае

$$\angle A+\angle B+\angle C>180^\circ,$$

что невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. В первом случае также получаем противоречие, потому что тогда сумма углов треугольника была бы больше $$180^\circ$$. Значит, предположение неверно, и

$$\angle A<90^\circ,\qquad \angle C<90^\circ.$$