Упр.222 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны прямой $$c$$. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую $$a$$, пересекает также и прямую $$b$$.
2. Даны прямая $$a$$ и точка $$A$$, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку $$A$$ проведите прямую, параллельную прямой $$a$$.

Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$A,$$ не лежащая на ней. Построим через точку $$A$$ прямую, параллельную прямой $$a$$.

1. Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$O_1$$ и $$O_2$$.
2. Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом, равным расстоянию от $$A$$ до прямой $$a$$. Она пересечёт прямую $$a$$ в точке $$O$$.
3. Построим окружности с центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ и радиусом $$O_1A=O_2A$$. Эти окружности пересекут первую окружность в точках $$A_1$$ и $$A_2$$.
4. Проведём прямую $$A_1A_2.$$

Докажем, что $$A_1A_2 \parallel a.$$

Так как $$O_1A=O_1A_1$$ и $$O_2A=O_2A_2,$$ то точки $$A_1$$ и $$A_2$$ расположены симметрично относительно прямой $$a$$. Следовательно, прямая $$A_1A_2$$ параллельна прямой $$a$$ и проходит через точку $$A$$.

Итак, через точку $$A$$ проведена прямая, параллельная прямой $$a.$$