Упр.221 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 124 DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE. Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим середину отрезка $$BM$$ через $$E$$, а середину отрезка $$CN$$ — через $$F$$. Тогда по условию $$BE=EM$$ и $$CF=FN$$.

Рассмотрим треугольники $$CBF$$ и $$FNA$$. Имеем:

$$BF=FA$$;
$$CF=FN$$;
$$\angle BFC=\angle NFA$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle CBF \cong \triangle FNA$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle BCF=\angle FNA,$$

значит, $$BC \parallel AN$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$AME$$ и $$BEC$$. Имеем:

$$BE=EM$$;
$$CE=EA$$;
$$\angle BEC=\angle AEM$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AME \cong \triangle BEC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle BCE=\angle EAM,$$

то есть $$BC \parallel AM$$.

Итак, через точку $$A$$ проходят две прямые $$AN$$ и $$AM$$, обе параллельны прямой $$BC$$. По аксиоме параллельных прямых такая прямая единственна, значит, $$A, M, N$$ лежат на одной прямой.