Упр.211 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. $$\angle ABC=70^\circ$$, а $$\angle BCD=110^\circ$$. Могут ли прямые $$AB$$ и $$CD$$ быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Пусть прямая $$c$$ пересекает параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим биссектрисы углов $$\angle A$$ и $$\angle B$$ через $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

а) Биссектрисы накрест лежащих углов параллельны

Так как $$a \parallel b$$, то накрест лежащие углы равны:

$$\angle 1=\angle 3.$$

Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 3=\angle 4.$$

Следовательно,

$$\angle 2=\angle 4.$$

Углы $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ — накрест лежащие для прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ при секущей $$c$$. Значит,

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

б) Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны

Если $$\angle A$$ и $$\angle B$$ — односторонние углы при параллельных прямых, то

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то угол между ними равен половине суммы этих углов:

$$\angle(AA_1,BB_1)=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B).$$

Тогда

$$\angle(AA_1,BB_1)=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Значит,

$$AA_1 \perp BB_1.$$

Ответ: а) параллельны; б) перпендикулярны.