Упр.211 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: угол ABC = 70°, a угол BCD= 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися? Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Подробный ответ

а) Если $$AB \parallel CD$$, то при секущей $$BC$$ односторонние углы должны быть в сумме равны $$180^\circ$$. Проверим:

$$\angle ABC+\angle BCD=70^\circ+110^\circ=180^\circ.$$

Значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ могут быть параллельными.

Если бы прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекались, то углы $$\angle ABC$$ и $$\angle BCD$$ не были бы односторонними при параллельных прямых, а условие $$70^\circ+110^\circ=180^\circ$$ не запрещает их пересечение в данной конфигурации. Следовательно, они могут быть и пересекающимися.

б) Пусть $$a \parallel b$$, $$c$$ — секущая, $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы накрест лежащих углов $$\angle A$$ и $$\angle B$$.

Так как $$a \parallel b$$, то $$\angle A=\angle B$$. Тогда, поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, получаем:

$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 3=\angle 4.$$

Углы $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$ — накрест лежащие, значит $$\angle 2=\angle 3$$. Следовательно, $$\angle 1=\angle 4$$, то есть соответствующие углы при прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ равны. Значит,

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Теперь рассмотрим случай односторонних углов. Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы односторонних углов $$\angle A$$ и $$\angle B$$ при $$a \parallel b$$.

Тогда

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle 1=\frac{\angle A}{2},\qquad \angle 3=\frac{\angle B}{2}.$$

Рассмотрим треугольник, образованный этими биссектрисами и секущей. В нём сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle 1+\angle 3+\angle B_1=180^\circ.$$

Подставим:

$$\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}+\angle B_1=180^\circ,$$

$$\frac{\angle A+\angle B}{2}+\angle B_1=180^\circ,$$

$$\frac{180^\circ}{2}+\angle B_1=180^\circ,$$

$$90^\circ+\angle B_1=180^\circ,$$

$$\angle B_1=90^\circ.$$