Упр.184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На боковых сторонах равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$\angle PXB = \angle QXC$$, где $$X$$ — середина основания $$BC$$. Докажите, что $$BQ = CP$$.
2. На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ постройте точку, равноудалённую от вершин $$A$$ и $$C$$.

Пусть $$X$$ — середина основания $$BC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$, то есть $$BX=XC$$ и $$AB=AC$$.

Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны:

$$\angle B=\angle C.$$

Рассмотрим треугольники $$PBX$$ и $$QXC$$. По условию

$$\angle PXB=\angle QXC,$$

а также

$$BX=XC.$$

Кроме того, так как $$P\in AB$$ и $$Q\in AC$$, то

$$\angle PBX=\angle B,\qquad \angle QCX=\angle C.$$

Следовательно, $$\angle PBX=\angle QCX$$.

Значит, треугольники $$PBX$$ и $$QXC$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$BP=CQ.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BQP$$ и $$CPQ$$? Нет, удобнее сравнить треугольники $$BQP$$ и $$CPQ$$ не нужно. Достаточно заметить, что в треугольниках $$BQP$$ и $$CPQ$$…

Рассмотрим треугольники $$BQP$$ и $$CPQ$$ через равенство сторон и углов при основании: поскольку $$BP=CQ$$, $$BQ$$ и $$CP$$ — соответствующие стороны при равных углах $$\angle B=\angle C$$ и общей стороне $$BC$$, получаем равенство треугольников $$BQC$$ и $$CPB$$ по двум сторонам и углу между ними:

$$CQ=BP,\quad CB=BC,\quad \angle QCB=\angle PBC.$$

Следовательно, соответствующие стороны равны:

$$BQ=CP.$$

Что и требовалось доказать.