Упр.182 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны два треугольника: ABC и А1В1С1. Известно, что АВ = А1В1, АС = А1С1, угол A-угол A1. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А1С1 и В1С1 треугольника А1В1С1 — точки К1 и L1 так, что АК = А1К1, LC = L1C1. Докажите, что: a) KL = K1L1; б)AL = A1L1. Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC = PQ.

Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ таковы, что $$AB=A_1B_1,$$ $$AC=A_1C_1,$$ $$\angle A=\angle A_1.$$ На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ взяты точки $$K$$ и $$L$$, а на сторонах $$A_1C_1$$ и $$B_1C_1$$ — точки $$K_1$$ и $$L_1$$, причём $$AK=A_1K_1$$ и $$LC=L_1C_1.$$

Докажем сначала, что $$KL=K_1L_1.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1.$$ По условию

$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$\angle C=\angle C_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$LCK$$ и $$L_1C_1K_1.$$ Имеем:

$$LC=L_1C_1$$ — по условию,

$$KC=AC-AK=A_1C_1-A_1K_1=K_1C_1,$$

так как $$AC=A_1C_1$$ и $$AK=A_1K_1.$$

Кроме того, $$\angle LCK=\angle C=\angle C_1=\angle L_1C_1K_1.$$

Следовательно, $$\triangle LCK \cong \triangle L_1C_1K_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$KL=K_1L_1.$$

Докажем теперь, что $$AL=A_1L_1.$$

Рассмотрим треугольники $$ABL$$ и $$A_1B_1L_1.$$ Имеем:

$$AB=A_1B_1$$ — по условию,

$$\angle B=\angle B_1$$ — как соответствующие углы равных треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1,$$

$$BL=BC-LC=B_1C_1-L_1C_1=B_1L_1,$$

так как $$BC=B_1C_1$$ и $$LC=L_1C_1.$$

Значит, $$\triangle ABL \cong \triangle A_1B_1L_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$AL=A_1L_1.$$

Итак, доказано, что $$KL=K_1L_1$$ и $$AL=A_1L_1.$$

Ответ

$$KL=K_1L_1,\quad AL=A_1L_1.$$

Ход решения

Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$PQ.$$ Тогда все точки этой окружности находятся на расстоянии $$PQ$$ от точки $$A.$$

Далее рассмотрим пересечение этой окружности с прямой $$a.$$

• Если прямая $$a$$ пересекает окружность в двух точках, то обе точки подходят в качестве вершины $$C$$.
• Если прямая $$a$$ касается окружности, то точка касания и есть искомая точка $$C.$$
• Если общих точек нет, то построить такой треугольник невозможно.

После выбора точки $$C \in a$$, для которой $$AC=PQ,$$ соединяем $$A$$ с $$C$$ и $$B$$ с $$C.$$ Получаем искомый треугольник $$ABC.$$

Ответ

Нужно построить окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$PQ$$; искомая точка $$C$$ — любая точка пересечения этой окружности с прямой $$a$$. Если пересечений нет, решения нет.