Упр.182 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны два треугольника: $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Известно, что $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$K$$ и $$L$$, а на сторонах $$A_1C_1$$ и $$B_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$ — точки $$K_1$$ и $$L_1$$ так, что $$AK=A_1K_1$$, $$LC=L_1C_1$$. Докажите, что: а) $$KL=K_1L_1$$; б) $$AL=A_1L_1$$.
- Даны прямая $$a$$, точки $$A$$, $$B$$ и отрезок $$PQ$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершина $$C$$ лежала на прямой $$a$$ и $$AC=PQ$$.
Обозначим через $$h$$ и $$h_1$$ точки на сторонах $$BC$$ и $$B_1C_1$$ соответственно, как на рисунке. Докажем сначала равенство треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.
Имеем:
$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$\angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1,\quad BC=B_1C_1.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$LCK$$ и $$L_1C_1K_1$$.
По условию $$LC=L_1C_1$$. Кроме того, из равенства треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ получаем $$\angle C=\angle C_1$$, а также
$$KC=AC-AK,\qquad K_1C_1=A_1C_1-A_1K_1.$$
Так как $$AC=A_1C_1$$ и $$AK=A_1K_1$$, то
$$KC=K_1C_1.$$
Следовательно, $$\triangle LCK \cong \triangle L_1C_1K_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$KL=K_1L_1.$$
Докажем теперь равенство $$AL=A_1L_1$$.
Рассмотрим треугольники $$ABL$$ и $$A_1B_1L_1$$. Имеем:
$$AB=A_1B_1,$$
$$\angle B=\angle B_1,$$
$$BL=BC-LC,\qquad B_1L_1=B_1C_1-L_1C_1.$$
Так как $$BC=B_1C_1$$ и $$LC=L_1C_1$$, то
$$BL=B_1L_1.$$
Значит, $$\triangle ABL \cong \triangle A_1B_1L_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
$$AL=A_1L_1.$$
Ответ
$$KL=K_1L_1,\quad AL=A_1L_1.$$
