Упр.180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

1) Докажем, что $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. У них:

• $$OA=OB$$ по условию;
• $$OD=OC$$, так как $$OD=OB+BD$$ и $$OC=OA+AC$$, а $$OB=OA$$ и $$BD=AC$$;
• $$\angle AOD=\angle BOC$$, поскольку это углы между сторонами, лежащими на сторонах угла $$XOY$$.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle DAO=\angle CBO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$DAE$$ и $$CBE$$. Имеем:

• $$AC=BD$$ по условию;
• $$\angle DAE=\angle CBE$$, так как $$\angle DAE$$ и $$\angle DAC$$ — смежные, а $$\angle CBE$$ и $$\angle DBC$$ — смежные, при этом $$\angle DAC=\angle DBC$$ из равенства треугольников $$AOD$$ и $$BOC$$;
• $$\angle DEA=\angle BEC$$ как вертикальные.

Значит, $$\triangle DAE \cong \triangle CBE$$, откуда $$AE=BE$$.

Рассмотрим треугольники $$AOE$$ и $$BOE$$. У них:

• $$OA=OB$$ по условию;
• $$AE=BE$$;
• $$OE$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle AOE \cong \triangle BOE$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle AOE=\angle EOB.$$

Значит, луч $$OE$$ делит угол $$XOY$$ пополам, то есть является биссектрисой.

2) Способ построения биссектрисы, основанный на этом факте:

• на сторонах угла $$XOY$$ отмечаем точки $$A$$ и $$B$$ так, чтобы $$OA=OB$$;
• через точки $$A$$ и $$B$$ проводим прямые, перпендикулярные сторонам угла, и на них откладываем равные отрезки $$AC=BD$$;
• соединяем $$A$$ с $$D$$, а $$B$$ с $$C$$; пусть эти прямые пересекутся в точке $$E$$;
• проводим луч $$OE$$ — это и есть биссектриса угла.

3) Построение окружности радиуса $$R$$ с центром на прямой $$l$$, проходящей через данную точку $$A$$:

• строим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$R$$;
• если эта окружность пересекает прямую $$l$$ в двух точках, то центров с расстоянием $$R$$ до точки $$A$$ на прямой $$l$$ два;
• если касается прямой $$l$$, то центр один;
• если не пересекает прямую $$l$$, то искомую окружность построить нельзя.

В случае существования решения выбираем на прямой $$l$$ точку $$O$$, для которой $$OA=R$$, и проводим окружность $$ (O;R) $$.

Ответ

$$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$. Окружность строится с центром в точке $$O$$ на прямой $$l$$ так, чтобы $$OA=R$$; если такая точка на прямой существует.