Упр.178 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

Подробный ответ

1) Пусть в треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle BCA$$ смежный с внешним углом $$\angle BCD$$. Тогда по свойству смежных углов

$$\angle BCA+\angle BCD=180^\circ.$$

2) По теореме о сумме углов треугольника

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^\circ.$$

3) Приравнивая правые части, получаем

$$\angle BCA+\angle BCD=\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA,$$

откуда

$$\angle BCD=\angle BAC+\angle ABC.$$

Так как в треугольнике все углы положительны, то $$\angle BAC>0$$ и $$\angle ABC>0$$. Следовательно,

$$\angle BCD>\angle BAC,$$

и аналогично

$$\angle BCD>\angle ABC.$$

Значит, смежный с углом треугольника угол больше каждого из двух других углов треугольника.

4) Докажем второе утверждение. Предположим противное: $$AD=BD=CD$$.

Тогда треугольники $$ABD$$, $$BCD$$ и $$ACD$$ равнобедренные, поэтому

$$\angle DAB=\angle ABD,\quad \angle DBC=\angle BCD,\quad \angle DCA=\angle CAD.$$

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то смежные углы при точке $$B$$ дают

$$\angle ABD+\angle DBC=180^\circ.$$

Из равенства боковых сторон в равнобедренных треугольниках следует, что соответствующие углы при основании равны, а значит, из равенства $$AD=BD=CD$$ получаем равенство углов при вершине $$D$$ в треугольниках с основаниями на одной прямой. В частности, это приводит к тому, что через точку $$D$$ к прямой $$ABC$$ можно провести два различных перпендикуляра, что невозможно.

Следовательно, предположение $$AD=BD=CD$$ неверно. Значит, по крайней мере два из отрезков $$AD$$, $$BD$$ и $$CD$$ не равны друг другу.