Упр.176 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ стороны $$BC$$ и $$AD$$ равны и пересекаются в точке $$O$$, угол $$OAC$$ равен углу $$OCA$$. Докажите, что треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны.
Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, если $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$AM=A_1M_1$$, где $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы треугольников.

Подробный ответ

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ стороны $$BC$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$O$$. По условию $$\angle OAC=\angle OCA$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. У них:

$$AC$$ — общая сторона;
$$BC=AD$$ по условию;
$$\angle OAC=\angle OCA$$, значит, в треугольнике $$AOC$$ углы при основании равны, поэтому $$AO=OC$$.

Теперь в треугольниках $$ABO$$ и $$CDO$$ имеем:

$$AB=CD$$, так как из равенства треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$ следует равенство соответствующих сторон;
$$AO=OC$$;
$$\angle BAO=\angle DCO$$, потому что $$\angle A=\angle C$$ и из равенства $$\angle OAC=\angle OCA$$ получаем
$$\angle BAO=\angle A-\angle OAC,$$
$$\angle DCO=\angle C-\angle OCA,$$
следовательно, $$\angle BAO=\angle DCO$$.

Значит, треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AB=CD,\quad AO=OC,\quad \angle BAO=\angle DCO.$$

Что и требовалось доказать.