Упр.175 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, угол A = угол A1, AD = A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников. На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

1) Докажем равенство треугольников $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$.

Так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAD=\angle D A_1B_1,\qquad \angle DAC=\angle D_1A_1C_1.$$

Кроме того, по условию $$\angle A=\angle A_1$$, значит

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Также дано $$AB=A_1B_1$$ и $$AD=A_1D_1$$. Следовательно,

$$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$

по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle B=\angle B_1.$$

2) Теперь докажем равенство треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Имеем:

$$AB=A_1B_1,$$

$$\angle A=\angle A_1,$$

$$\angle B=\angle B_1.$$

Значит,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Рассмотрим теперь задачу про угол $$XOY$$. Пусть точки $$A$$ и $$B$$ лежат на одной стороне угла, а точки $$C$$ и $$D$$ — на другой, причём $$OA=OB$$ и $$AC=BD$$, а прямые $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$E$$.

Докажем, что луч $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$.

Из равенства $$OA=OB$$ и $$AC=BD$$ получаем, что точки $$A$$ и $$B$$, а также $$C$$ и $$D$$ расположены симметрично относительно биссектрисы угла. Поэтому треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$OA=OB,$$

$$OD=OC,$$

$$\angle AOD=\angle BOC.$$

Следовательно,

$$\angle ODA=\angle BCO.$$

Так как $$E\in AD$$ и $$E\in BC$$, то

$$\angle ODE=\angle ODA,\qquad \angle BCE=\angle BCO.$$

Отсюда треугольники $$DBE$$ и $$AEC$$ равны по стороне и двум прилежащим углам, значит

$$BE=EA.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BOE$$ и $$AOE$$:

$$BO=OA,$$

$$BE=EA,$$

$$OE$$ — общая сторона.

Следовательно,

$$\triangle BOE \cong \triangle AOE$$

по трём сторонам. Тогда

$$\angle BOE=\angle EOA,$$

то есть луч $$OE$$ делит угол $$XOY$$ пополам. Значит, $$OE$$ — биссектриса угла $$XOY$$.

Способ построения биссектрисы: на сторонах угла отложить равные отрезки $$OA=OB$$, затем на одной стороне взять точку $$C$$, а на другой — точку $$D$$ так, чтобы $$AC=BD$$. Провести прямые $$AD$$ и $$BC$$; их точка пересечения $$E$$ лежит на биссектрисе угла. Поэтому луч $$OE$$ и есть искомая биссектриса.