Упр.174 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На рисунке 95 $$OC=OD$$, $$OB=OE$$. Докажите, что $$AB=EF$$. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка $$AB$$ на рисунке 95), основанный на этой задаче.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$, если $$\angle A=\angle A_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$, $$BC=B_1C_1$$.
Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$EOD$$. По условию $$BO=OE$$ и $$OC=OD$$, а углы $$\angle BOC$$ и $$\angle EOD$$ — вертикальные, значит, равны. Следовательно, $$\triangle BOC \cong \triangle EOD$$ по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда получаем равенство соответствующих углов:
$$\angle CBO=\angle OED.$$
Теперь рассмотрим углы $$\angle ABO$$ и $$\angle OEF$$. Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, E, F$$ — на одной прямой, то
$$\angle ABO=180^\circ-\angle CBO,$$
$$\angle OEF=180^\circ-\angle OED.$$
Поскольку $$\angle CBO=\angle OED$$, то $$\angle ABO=\angle OEF$$.
Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$OEF$$. В них:
$$BO=OE$$ — по условию,
$$\angle ABO=\angle OEF,$$
$$\angle AOB=\angle EOF$$ — как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle ABO \cong \triangle OEF$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны равны:
$$AB=EF.$$
Итак, ширину озера $$AB$$ можно измерить, не переправляясь через него: достаточно на продолжении берега отложить точки $$B, O, E$$ и $$D, F$$ так, чтобы $$BO=OE$$ и $$OC=OD$$, после чего измерить отрезок $$EF$$. По доказанному $$EF=AB$$, значит, он и равен искомой ширине озера.
Ответ
$$AB=EF.$$
