Упр.169 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний. На рисунке 95 OC = OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что AB = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$AED$$, $$EBF$$ и $$DFC$$.

Так как $$ABC$$ — равносторонний, то $$AB=BC=CA$$ и $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$.

По условию $$AD=BE=CF$$. Тогда

$$AE=AB-BE,\quad BF=BC-CF,\quad DC=AC-AD.$$

Поскольку $$AB=BC=CA$$ и $$AD=BE=CF$$, получаем

$$AE=BF=DC.$$

Кроме того, углы между сторонами равны:

$$\angle DAE=\angle EBF=\angle CFD=60^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$AED$$, $$EBF$$ и $$DFC$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$DE=EF=FD.$$

Итак, треугольник $$DEF$$ равносторонний.

2) Пусть на рисунке 95 точка $$O$$ — точка пересечения отрезков $$AF$$ и $$CD$$, а $$B,O,E$$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$DOE$$.

Имеем:

$$BO=OE,\quad OC=OD$$

по условию, а

$$\angle BOC=\angle DOE$$

как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники $$BOC$$ и $$DOE$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle CBO=\angle OED.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$OEF$$. У них

$$BO=OE$$

по условию, а также

$$\angle ABO=\angle OEF,$$

потому что

$$\angle ABO=180^\circ-\angle CBO,$$

$$\angle OEF=180^\circ-\angle OED,$$

а $$\angle CBO=\angle OED$$.

Кроме того,

$$\angle AOB=\angle EOF$$

как вертикальные углы.

Значит, треугольники $$ABO$$ и $$OEF$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому

$$AB=EF.$$

3) Способ измерения ширины озера основан на том, что можно построить на берегу отрезок $$EF$$ так, чтобы выполнялись условия $$OC=OD$$ и $$OB=OE$$. Тогда по доказанному $$AB=EF$$, то есть ширина озера равна легко измеряемому на суше отрезку $$EF$$.