Упр.166 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$ равны, $$BC = B_1C_1$$ и угол $$AMB$$ = угол $$A_1M_1B_1$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ = треугольник $$A_1B_1C_1$$.
2. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в их общей середине $$O$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BD$$. Докажите, что точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.

Рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$A_1M_1B_1$$.

По условию $$AM=A_1M_1$$ и $$\angle AMB=\angle A_1M_1B_1$$.

Так как $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$, то

$$BM=\frac12 BC,\qquad B_1M_1=\frac12 B_1C_1.$$

Из условия $$BC=B_1C_1$$, значит $$BM=B_1M_1$$.

Следовательно, треугольники $$AMB$$ и $$A_1M_1B_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AB=A_1B_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

У них

$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними.