Упр.165 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1 так, что АК = ВК1. Докажите, что: a) ОК = ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

$$DO$$ — общая сторона,

$$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ$$, так как $$a \perp AB$$,

$$AO=OB$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AD=DB$$.

2) Теперь предположим, что $$AD=DB$$. Тогда треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$ равны по трём сторонам:

$$DO$$ — общая сторона,

$$AD=DB$$,

$$AO=OB$$.

Отсюда $$\angle ADO=\angle ODB$$ и $$\angle AOD=\angle DOB$$.

Но $$\angle AOD$$ и $$\angle DOB$$ — смежные, а значит, их сумма равна $$180^\circ$$. Так как они равны, то

$$\angle AOD=\angle DOB=90^\circ.$$

Следовательно, $$DO \perp AB$$. Поскольку $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, прямая $$DO$$ совпадает с прямой $$a$$, значит, $$D \in a$$.

3) Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. У них:

$$AO=OB$$,

$$CO=OD$$,

$$\angle AOC=\angle BOD$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle A=\angle B.$$

4) Рассмотрим треугольники $$AKO$$ и $$BK_1O$$. Имеем:

$$AO=OB$$,

$$AK=BK_1$$,

$$\angle KAO=\angle OBK_1$$, так как $$\angle A=\angle B$$.

Значит, $$\triangle AKO \cong \triangle BK_1O$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$OK=OK_1.$$

5) Из равенства треугольников также получаем

$$\angle AOK=\angle BOK_1.$$

Точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит, углы $$\angle AOK$$ и $$\angle BOK_1$$ — вертикальные. Следовательно, точки $$K, O, K_1$$ лежат на одной прямой.

Итак, $$O \in KK_1$$.