Упр.163 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Подробный ответ

Обозначим боковые стороны равнобедренного треугольника $$ABC$$ через $$AB=BC=x$$, а основание пусть будет $$AC=8$$. Пусть $$M$$ — середина стороны $$AB$$, тогда $$AM=MB=\dfrac{x}{2}$$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $$CM$$ делит треугольник $$ABC$$: $$AMC$$ и $$BMC$$.

Их периметры равны:

$$P_{AMC}=AC+AM+MC,$$

$$P_{BMC}=BC+BM+MC.$$

По условию периметр одного из них на $$2$$ см больше периметра другого. Тогда возможны два случая.

1) $$P_{AMC}-P_{BMC}=2$$.

Тогда

$$AC+AM+MC-(BC+BM+MC)=2,$$

$$AC-BC+AM-BM=2.$$

Так как $$AM=BM$$, получаем

$$AC-BC=2,$$

$$8-x=2,$$

$$x=6.$$

2) $$P_{BMC}-P_{AMC}=2$$.

Тогда

$$BC+BM+MC-(AC+AM+MC)=2,$$

$$BC-AC+BM-AM=2.$$

Так как $$AM=BM$$, получаем

$$BC-AC=2,$$

$$x-8=2,$$

$$x=10.$$

Значит, боковая сторона треугольника может быть равна $$6$$ см или $$10$$ см.

Докажем, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$BC$$, а точка $$D$$ — середина основания $$AC$$. Тогда

$$AE=EB,\quad BF=FC,\quad AD=DC.$$

Рассмотрим треугольники $$AED$$ и $$DFC$$. Имеем:

$$AE=FC,$$

$$AD=DC,$$

$$\angle EAD=\angle FCD,$$

так как $$\angle A=\angle C$$ в равнобедренном треугольнике.

Следовательно, $$\triangle AED \cong \triangle DFC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$ED=DF.$$

Значит, треугольник $$DEF$$ равнобедренный, что и требовалось доказать.