Упр.161 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника. В треугольниках ABC и А1В1С1 медианы AM и А1М1 равны, ВС = В1С1 и угол AMB = угол A1M1B1. Докажите, что треугольник АВС=треугольник A1B1C1.

Обозначим $$AB=x$$ см. Тогда по условию $$BC=x+2$$ см, $$AC=x+1$$ см.

Так как периметр треугольника равен $$15$$ см, получаем:

$$AB+BC+AC=15$$

$$x+(x+2)+(x+1)=15$$

$$3x+3=15$$

$$3x=12$$

$$x=4$$

Следовательно,

$$AB=4\text{ см}, \quad BC=6\text{ см}, \quad AC=5\text{ см}.$$

Докажем равенство треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то

$$BM=\frac{1}{2}BC,\quad B_1M_1=\frac{1}{2}B_1C_1.$$

По условию $$BC=B_1C_1$$, значит $$BM=B_1M_1$$.

Кроме того, по условию $$AM=A_1M_1$$ и $$\angle AMB=\angle A_1M_1B_1$$.

Следовательно, треугольники $$AMB$$ и $$A_1M_1B_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$AB=A_1B_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

$$AB=4\text{ см},\ BC=6\text{ см},\ AC=5\text{ см}.$$ Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.