Упр.160 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) $$45^\circ$$; б) $$22^\circ30’$$.
Прямая $$a$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$; б) каждая точка, равноудалённая от точек $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$a$$ проходит через точку $$O$$ и перпендикулярна $$AB$$.

Доказательство

1) Возьмём любую точку $$D$$ на прямой $$a$$. Тогда $$DO \perp AB$$, значит

$$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

$$DO$$ — общая сторона;
$$AO=OB$$, так как $$O$$ — середина $$AB$$;
$$\angle DOA=\angle DOB=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AD=DB.$$

2) Теперь пусть точка $$D$$ такова, что $$AD=DB$$. Рассмотрим треугольники $$DOA$$ и $$DOB$$. У них:

$$DO$$ — общая сторона;
$$AO=OB$$;
$$AD=DB$$ по условию.

Значит, $$\triangle DOA \cong \triangle DOB$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle ADO=\angle ODB.$$

Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle ADO$$ и $$\angle ODB$$ смежные и равные. Следовательно, каждый из них равен $$90^\circ$$, то есть

$$DO \perp AB.$$

Так как точка $$O$$ лежит на прямой $$a$$ и через неё проведён перпендикуляр к $$AB$$, то $$D \in a$$.

Итак, каждая точка прямой $$a$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, и наоборот, каждая точка, равноудалённая от $$A$$ и $$B$$, лежит на прямой $$a$$.