Упр.158 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая $$a$$ и точка $$M$$, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку $$M$$ и перпендикулярную к прямой $$a$$.
2. Основание равнобедренного треугольника равно $$8\ \text{см}$$. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на $$2\ \text{см}$$ больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Пусть $$AB=8$$ см — основание равнобедренного треугольника, а $$AC=BC$$ — его боковые стороны. Проведём медиану $$CM$$ к боковой стороне $$AB$$, где $$M$$ — середина стороны $$AB$$.

Рассмотрим два треугольника: $$\triangle AMC$$ и $$\triangle BMC$$. Их периметры равны:

$$P_{AMC}=AM+MC+AC,$$

$$P_{BMC}=BM+MC+BC.$$

Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то $$AM=BM$$. По условию периметр одного треугольника на $$2$$ см больше периметра другого, значит возможны два случая.

1) $$P_{AMC}-P_{BMC}=2$$.

Тогда

$$AM+MC+AC-(BM+MC+BC)=2,$$

$$AC-BC=2.$$

Но $$AC=BC$$, поэтому получаем противоречие. Значит, этот случай невозможен.

2) $$P_{BMC}-P_{AMC}=2$$.

Тогда

$$BM+MC+BC-(AM+MC+AC)=2,$$

$$BC-AC=2.$$

С учётом $$AC=BC$$ снова получаем противоречие.

Следовательно, в условии имеется в виду, что медиана проведена к боковой стороне, а треугольник разбит на два треугольника с периметрами, отличающимися на $$2$$ см за счёт того, что одна из боковых сторон равна $$8$$ см. Тогда для боковой стороны $$x$$ имеем:

$$x-8=2 \quad \text{или} \quad 8-x=2.$$

Отсюда

$$x=10$$ см или $$x=6$$ см.

Ответ: $$6$$ см или $$10$$ см.