Упр.155 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение? С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а)45°; б) 22°30′.
Пусть $$r$$ — радиус данной окружности, а $$\rho=PQ$$. Нужно построить на окружности точку $$M$$ такую, чтобы $$AM=\rho$$.
Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$\rho$$. Тогда искомые точки $$M$$ — это точки пересечения этой окружности с данной окружностью.
Возможны три случая:
- окружности пересекаются в двух точках — тогда задача имеет два решения;
- окружности касаются — тогда задача имеет одно решение;
- окружности не пересекаются — тогда решений нет.
Значит, задача не всегда имеет решение.
а) Построим угол $$45^\circ$$.
1) Построим прямой угол $$\angle AOB=90^\circ$$.
2) Проведём биссектрису этого угла. Для построения биссектрисы из точки $$O$$ проведём окружность произвольного радиуса, она пересечёт стороны угла в точках $$M$$ и $$N$$.
3) Из точек $$M$$ и $$N$$ тем же радиусом проведём дуги, которые пересекутся в точке $$C$$.
4) Соединим $$O$$ и $$C$$. Тогда $$OC$$ — биссектриса угла $$AOB$$, поэтому
$$\angle AOC=\angle COB=45^\circ.$$
б) Построим угол $$22^\circ 30’$$.
1) Сначала построим угол $$45^\circ$$, как в пункте а).
2) Затем разделим его пополам, построив биссектрису. Для этого из точек, лежащих на сторонах угла, проводим равные дуги, получаем точку пересечения и соединяем её с вершиной угла.
3) Полученная биссектриса делит угол $$45^\circ$$ пополам, значит, каждый из углов равен
$$\frac{45^\circ}{2}=22^\circ 30′.$$
Ответ
Точка $$M$$ строится как точка пересечения данной окружности с окружностью с центром в $$A$$ и радиусом $$PQ$$. Задача не всегда имеет решение: возможны 0, 1 или 2 решения. Углы $$45^\circ$$ и $$22^\circ 30’$$ строятся с помощью биссектрисы.
