Упр.150 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите угол POM. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Так как $$MP=PK$$, то треугольник $$MPK$$ равнобедренный.
По условию $$MK$$ — диаметр окружности, значит $$O$$ — середина отрезка $$MK$$ и $$MO=OK$$.
В равнобедренном треугольнике $$MPK$$ отрезок $$PO$$, соединяющий вершину $$P$$ с серединой основания $$MK$$, является медианой и высотой. Следовательно,
$$PO\perp MK.$$
Так как точки $$M, O, K$$ лежат на одной прямой, то угол $$POM$$ — прямой:
$$\angle POM=\angle POK=90^\circ.$$
Ответ
$$90^\circ$$
Ход решения
Точку $$M$$ нужно искать как точку пересечения данной окружности с окружностью с центром в точке $$A$$ и радиусом $$PQ$$.
Построим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$PQ$$. Тогда каждая точка её пересечения с данной окружностью будет удовлетворять условию $$AM=PQ$$.
Возможны три случая:
- окружности пересекаются в двух точках — тогда задача имеет два решения;
- окружности касаются — тогда задача имеет одно решение;
- окружности не пересекаются — тогда решений нет.
Значит, задача не всегда имеет решение.
Ответ
Точку $$M$$ надо взять в точке пересечения данной окружности с окружностью с центром $$A$$ и радиусом $$PQ$$. Решение существует не всегда: оно может быть одно, два или отсутствовать.
