Упр.149 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды $$BD$$ и $$AC$$ равны; б) хорды $$AD$$ и $$BC$$ равны; в) $$\angle BAD = \angle BCD$$.
2. Даны прямая $$a$$, точка $$B$$, не лежащая на ней, и отрезок $$PQ$$. Постройте точку $$M$$ на прямой $$a$$ так, чтобы $$BM = PQ$$. Всегда ли задача имеет решение?

Пусть окружность с центром $$O$$ имеет диаметр $$AB$$, а отрезок $$CD$$ — тоже диаметр этой окружности.

а) Докажем, что $$BD=AC$$

Так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры, то $$OA=OB=OC=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$DOB$$. У них:

• $$OA=OB$$;
• $$OC=OD$$;
• $$\angle AOC=\angle DOB$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AC=BD$$.

б) Докажем, что $$AD=BC$$

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. У них:

• $$OA=OB$$;
• $$OD=OC$$;
• $$\angle AOD=\angle COB$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle COB$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AD=BC$$.

в) Докажем, что $$\angle BAD=\angle BCD$$

Рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$DCB$$. У них:

• $$AD=BC$$ — по пункту б);
• $$DB=AC$$ — по пункту а);
• $$AB=CD$$, так как оба отрезка — диаметры одной окружности.

Следовательно, $$\triangle ADB \cong \triangle DCB$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle BAD=\angle BCD.$$

Ответ: $$BD=AC,\ AD=BC,\ \angle BAD=\angle BCD.$$