Упр.147 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) угол ADB = угол ACB; б) DO = OC. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

1) Так как треугольник $$ADC$$ равнобедренный, то $$AC=AD$$ и $$\angle ACD=\angle CDA.$$

Так как треугольник $$BCD$$ равнобедренный, то $$BC=BD$$ и $$\angle BCD=\angle CDB.$$

Тогда

$$\angle ADB=\angle CDB-\angle CDA,$$

$$\angle ACB=\angle BCD-\angle ACD.$$

Но $$\angle CDB=\angle BCD$$ и $$\angle CDA=\angle ACD,$$ значит,

$$\angle ADB=\angle ACB.$$

2) Рассмотрим треугольники $$BCA$$ и $$BDA.$$

В них:

$$BC=BD,$$

$$CA=AD,$$

$$\angle ACB=\angle ADB$$

(по пункту 1).

Следовательно, треугольники $$BCA$$ и $$BDA$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle CBA=\angle ABD.$$

Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а $$O\in CD,$$ то

$$\angle CBO=\angle OBD.$$

Рассмотрим треугольники $$CBO$$ и $$OBD.$$ У них:

$$BO$$ — общая сторона,

$$CB=BD,$$

$$\angle CBO=\angle OBD.$$

Значит, треугольники $$CBO$$ и $$OBD$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$CO=OD.$$

То есть точка $$O$$ — середина отрезка $$CD.$$

3) В окружности с центром $$O$$ точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности, поэтому

$$OA=OB=r.$$

Так как $$\angle AOB=90^\circ,$$ а $$BC$$ — диаметр, то $$C, O, B$$ лежат на одной прямой и $$OC=OB=r.$$

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$ABO.$$ У них:

$$OA$$ — общая сторона,

$$OC=OB,$$

$$\angle AOC=\angle AOB=90^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$ACO$$ и $$ABO$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$AC=AB.$$

Ответ

а) $$\angle ADB=\angle ACB$$; б) $$DO=OC$$; $$AB=AC$$.