Упр.144 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 76 АВ-CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) угол ABE = угол ADF; б) треугольник АВЕ = треугольник CDF. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) угол BAD = угол BCD.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle CDA$$. У них

$$AB=CD,$$
$$BC=AD,$$
$$AC$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle ABC=\angle CDA,$$
$$\angle ACB=\angle CAD.$$

Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то

$$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC.$$

Так как $$DF$$ — биссектриса угла $$ADC$$, то

$$\angle ADF=\frac{1}{2}\angle ADC.$$

Но $$\angle ABC=\angle CDA=\angle ADC$$, значит

$$\angle ABE=\angle ADF.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle CDF$$. Имеем:

$$AB=CD$$ — по условию,
$$\angle ABE=\angle ADF$$ — доказано,
$$\angle AEB=\angle CFD$$, так как эти углы являются дополнительными к равным углам при вершинах $$B$$ и $$D$$, а также учитывают равенство соответствующих углов из пункта 1.

Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CDF$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, соответствующие элементы этих треугольников равны, в частности

$$\angle ABE=\angle ADF,$$
$$\triangle ABE \cong \triangle CDF.$$