Упр.1430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Отрезок $$BD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC$$.
Пусть окружность, описанная около треугольника $$ABC,$$ вторично пересекает прямую $$BD$$ в точке $$E.$$ Тогда точки $$A, B, C, E$$ лежат на одной окружности, а точки $$D, B, E$$ — на одной прямой.
По теореме о вписанном угле:
$$\angle BCA=\frac12\overset{\frown}{BA}, \qquad \angle BEA=\frac12\overset{\frown}{BA}.$$
Следовательно, $$\angle BCA=\angle BEA,$$ значит, точки $$A, B, C, E$$ действительно лежат на одной окружности.
Из свойства пересекающихся хорд для этой окружности получаем:
$$AC\cdot BE=AD\cdot CD.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD.$$ Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B,$$ то
$$\angle ABD=\angle CBD.$$
Кроме того, поскольку $$A, B, C, E$$ лежат на одной окружности, то
$$\angle BAD=\angle BCD,$$
так как $$D$$ лежит на прямой $$AC.$$
Значит, треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ подобны. Отсюда
$$\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{AB}.$$
Обозначим этот общий коэффициент подобия через $$k$$. Тогда
$$BD=\frac{AB\cdot BC}{BE}.$$
Так как $$D$$ лежит на отрезке $$BE,$$ то
$$DE=BE-BD.$$
По свойству пересекающихся хорд:
$$BD\cdot DE=AD\cdot CD.$$
Подставим $$DE=BE-BD$$:
$$BD(BE-BD)=AD\cdot CD,$$
$$BD\cdot BE-BD^2=AD\cdot CD.$$
Но из подобия треугольников имеем
$$BD\cdot BE=AB\cdot BC.$$
Тогда
$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot CD.$$
Что и требовалось доказать.
