Упр.1429 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дана окружность и точка $$A$$ вне этой окружности. Через точку $$A$$ провести секущую к окружности так, чтобы внешняя часть секущей была в $$2$$ раза больше внутренней.

Пусть $$O$$ — центр данной окружности, $$R$$ — её радиус. Обозначим через $$F$$ и $$E$$ точки пересечения искомой секущей с окружностью, причём $$A, E, F$$ лежат на одной прямой и $$E$$ ближе к точке $$A$$.

По условию нужно, чтобы внешняя часть секущей была в 2 раза больше внутренней, то есть

$$AE=2\cdot EF.$$

Тогда

$$AF=AE+EF=3\cdot EF,$$

значит

$$AE:AF=2:3.$$

Следовательно, точка $$E$$ должна делить отрезок $$AF$$ в отношении $$2:1$$, а точка $$F$$ — в отношении $$1:2$$ от точки $$A$$.

Построение:

1. На отрезке $$OA$$ отметим точку $$B$$ так, чтобы $$OB:OA=1:3$$.
2. С центром в точке $$B$$ проведём окружность радиуса $$\frac{2}{3}R$$.
3. Точку пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим через $$E$$.
4. Прямая $$AE$$ пересечёт данную окружность в точке $$F$$.

Тогда секущая $$AEF$$ искомая, так как для неё выполняется $$AE=2\cdot EF$$.

Ответ: искомая секущая строится указанным способом; $$AE=2\cdot EF$$.