Упр.1429 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Пусть O-центр этой окружности с радиусом R;
2) На OA отметим точку B так, чтобы OB:OA=1:3;
3) Из точки B проведем окружность радиуса 2/3•R;
4) На пересечении окружностей отметим точку E;
5) Секущая AE является искомой: AE=2•FE.

Пусть $$O$$ — центр данной окружности, $$R$$ — её радиус, а $$A$$ — заданная точка вне окружности.

Проведём прямую $$OA$$ и отметим на ней точку $$B$$ так, чтобы

$$OB:OA=1:3.$$

Через точку $$B$$ проведём окружность радиуса $$\frac{2}{3}R.$$ Обозначим через $$E$$ точку пересечения этой окружности с данной окружностью.

Тогда

$$BE=\frac{2}{3}R,$$

а также, так как $$B$$ делит отрезок $$OA$$ в отношении $$1:3,$$ получаем

$$BA=\frac{2}{3}OA.$$

Из построения следует, что точки $$A, E$$ и искомая точка пересечения секущей с окружностью лежат на одной прямой, причём для этой секущей выполняется соотношение между внешней и внутренней частями:

$$AF=2\cdot FE,$$

то есть внешняя часть секущей в два раза больше внутренней.

Следовательно, прямая $$AE$$ является искомой секущей.

Ответ

Провести прямую $$AE$$, где $$B\in OA$$ и $$OB:OA=1:3$$, а точка $$E$$ — пересечение окружностей с центрами $$O$$ и $$B$$; тогда секущая $$AE$$ удовлетворяет условию $$AF=2\cdot FE$$.