Упр.142 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дано:
BC=AD;
AB=CD;
Доказать:
угол B=угол D;
Решение:
По третьему признаку:
BC=AD; AB=CD; AC-общая;
треугольник ADC=треугольник ABC,значит угол B=угол D;
Что и требовалось доказать. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) угол ADB = угол ACB; б) DO = OC.
1) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. По условию
$$BC=AD,\quad AB=CD,\quad AC\text{ — общая сторона}.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ADC$$ по третьему признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие углы равны:
$$\angle B=\angle D.$$
Это и требовалось доказать.
2) Докажем теперь, что $$\angle ADB=\angle ACB$$ и $$DO=OC$$.
Так как $$\triangle ADC$$ и $$\triangle BCD$$ равнобедренные, то
$$AC=AD,\quad \angle ACD=\angle ADC,$$
$$CB=BD,\quad \angle BCD=\angle BDC.$$
Точка $$O$$ лежит на отрезке $$CD$$, поэтому
$$\angle ADB=\angle BDC-\angle ADC,$$
$$\angle ACB=\angle BCD-\angle ACD.$$
Но $$\angle BDC=\angle BCD$$ и $$\angle ADC=\angle ACD$$, значит
$$\angle ADB=\angle ACB.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$CBO$$ и $$OBD$$. У них
$$BO$$ — общая сторона,
$$CB=BD,$$
$$\angle CBO=\angle OBD$$
(так как $$\angle CBO=\angle ACB$$ и $$\angle OBD=\angle ADB$$, а эти углы равны).
Следовательно, $$\triangle CBO \cong \triangle OBD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:
$$CO=OD.$$
Ответ
а) $$\angle ADB=\angle ACB$$; б) $$DO=OC$$.
