Упр.1419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.

Пусть данные окружности пересекаются в точке $$M$$. Нужно построить отрезок $$AB$$, у которого $$A \in \omega_2$$, $$B \in \omega_1$$ и точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

Построим окружность $$\omega_1’$$, симметричную окружности $$\omega_1$$ относительно точки $$M$$. Тогда точка $$M$$ является центром симметрии, а значит, если $$B \in \omega_1$$, то соответствующая ей симметричная точка $$A$$ лежит на окружности $$\omega_1’$$ и выполняется $$M$$ — середина $$AB$$.

Теперь найдём такую точку $$A$$, которая одновременно принадлежит $$\omega_1’$$ и $$\omega_2$$. Для этого отметим точку пересечения окружностей $$\omega_1’$$ и $$\omega_2$$.

Проведём прямую $$AM$$. Она пересечёт окружность $$\omega_1$$ в точке $$B$$. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ лежат соответственно на окружностях $$\omega_2$$ и $$\omega_1$$, а точка $$M$$ является серединой отрезка $$AB$$, так как $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно точки $$M$$.

Следовательно, искомый отрезок — $$AB$$.

Ответ

Построить окружность, симметричную одной из данных относительно точки их пересечения $$M$$; взять точку пересечения этой окружности с другой данной окружностью; соединить её с $$M$$. Точка пересечения полученной прямой с первой окружностью даст второй конец искомого отрезка.