Упр.1418 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На стороне угла АОВ с недоступной вершиной дана точка М. Постройте отрезок, равный отрезку ОМ.

Пусть на стороне $$OB$$ угла $$AOB$$ выбрана произвольная точка $$C$$. Построим точку $$C’$$, симметричную точке $$C$$ относительно точки $$M$$, и точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно точки $$M$$.

Тогда точка $$M$$ является серединой отрезков $$CC’$$ и $$BB’$$, значит, в четырёхугольнике $$BCB’C’$$ диагонали $$BB’$$ и $$CC’$$ пересекаются и делятся пополам. Следовательно, $$BCB’C’$$ — параллелограмм, поэтому

$$B’C’ \parallel BC.$$

Так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат на стороне $$OB$$, то прямая $$BC$$ совпадает с прямой $$OB$$. Значит, $$B’C’ \parallel OB$$.

Проведём прямую $$B’C’$$. Она пересечёт сторону $$OA$$ угла $$AOB$$ в некоторой точке $$O’$$.

Рассмотрим треугольники $$MBO$$ и $$MB’O’$$. Из построения имеем:

$$MB = MB’,$$

а также $$B’O’ \parallel BO$$, поэтому соответствующие углы равны, и треугольники $$MBO$$ и $$MB’O’$$ подобны. Но так как $$M$$ — середина $$BB’$$, то $$MB = MB’$$, следовательно, коэффициент подобия равен $$1$$, и потому

$$MO = MO’.$$

Значит, отрезок $$MO’$$ равен искомому отрезку $$MO$$.

Ответ

Построить точку $$O’$$ как точку пересечения стороны $$OA$$ с прямой, проведённой через точки, симметричные относительно $$M$$ выбранным точкам $$B$$ и $$C$$ на стороне $$OB$$. Тогда $$MO’ = MO$$.