Упр.1415 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Обозначим в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ стороны так, что $$AC<BC$$, $$A_1C_1<B_1C_1$$, и выполнены условия:

$$AC=A_1C_1,$$

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1.$$

Пусть $$D$$ — середина отрезка $$AB$$, а через точку $$D$$ проведём прямую $$DE\perp AB$$, где $$E\in BC$$.

Тогда $$DE$$ — и медиана, и высота треугольника $$ABE$$, значит, $$BE=AE$$. Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABE$$ имеем

$$\angle BAE=\angle B,$$

а значит,

$$\angle EAC=\angle A-\angle B.$$

Аналогично во втором треугольнике построим точку $$E_1\in B_1C_1$$ так, что

$$\angle E_1A_1C_1=\angle A_1-\angle B_1.$$

По условию

$$\angle EAC=\angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1=\angle E_1A_1C_1.$$

Кроме того, так как $$AC=A_1C_1$$ и $$BC=B_1C_1$$, то

$$AE+EC=BC,\qquad A_1E_1+E_1C_1=B_1C_1,$$

следовательно, при совмещении отрезков $$AC$$ и $$A_1C_1$$ на одном луче из равенства углов получаем совпадение соответствующих частей:

$$AE=A_1E_1,\qquad EC=E_1C_1.$$

Тогда

$$\triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1$$

по двум сторонам и углу между ними. Отсюда совпадают и продолжения сторон, поэтому

$$BC=B_1C_1$$

и при наложении треугольников совпадают все три вершины. Значит,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$