Упр.1413 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ через $$O$$ и $$O_1$$ соответственно.

Так как в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC,\quad BO=OD,$$

$$A_1O_1=O_1C_1,\quad B_1O_1=O_1D_1.$$

По условию $$AC=A_1C_1$$ и $$BD=B_1D_1$$. Тогда

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{A_1C_1}{2}=A_1O_1,$$

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{B_1D_1}{2}=B_1O_1.$$

Кроме того, по условию $$\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$$. Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$A_1O_1B_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$\triangle AOB \cong \triangle A_1O_1B_1.$$

Значит, существует наложение, при котором $$A\mapsto A_1$$, $$B\mapsto B_1$$, а точка $$O$$ совмещается с $$O_1$$.

Так как точки $$C$$ и $$D$$ лежат на продолжениях диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ за точку $$O$$, то при этом наложении они перейдут соответственно в точки $$C_1$$ и $$D_1$$, поскольку

$$OC=O_1C_1,\quad OD=O_1D_1.$$

Следовательно, все вершины одного параллелограмма совместятся с соответствующими вершинами другого, то есть

$$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1.$$