Упр.1411 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: При данном движении g точка А отображается в точку В, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.

Подробный ответ

Рассмотрим движение $$g$$. По условию $$A \mapsto B$$ и $$B \mapsto A$$.

Возьмём произвольную точку $$M$$ и обозначим её образ при движении через $$N$$, то есть $$M \mapsto N$$. Так как движение сохраняет расстояния, то

$$AM=BN,\qquad BM=AN.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AMBN$$ — параллелограмм.

Пусть $$O$$ — точка пересечения его диагоналей $$AB$$ и $$MN$$. Тогда диагонали параллелограмма делятся пополам, значит

$$AO=OB,\qquad MO=ON.$$

Теперь рассмотрим возможные случаи.

Если $$AM\ne BM$$, то параллелограмм $$AMBN$$ не является ромбом, а значит его диагонали не перпендикулярны. Тогда точка $$O$$ — середина отрезков $$AB$$ и $$MN$$, и отображение $$g$$ есть центральная симметрия относительно точки $$O$$.

Если $$AM=BM$$, то параллелограмм $$AMBN$$ — ромб, поэтому его диагонали перпендикулярны: $$MN\perp AB$$. В этом случае прямая $$MN$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$, и движение $$g$$ есть осевая симметрия относительно этой прямой.

Таким образом, движение $$g$$ является либо центральной симметрией, либо осевой симметрией.