Упр.1410 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте границу круга, площадь которого равна: а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.

Подробный ответ

а) Пусть радиусы данных концентрических окружностей равны $$R$$ и $$r$$, а радиус искомого круга равен $$x$$. Тогда по условию площади равны:

$$\pi x^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Отсюда

$$x^2=R^2-r^2.$$

Значит, искомый радиус можно построить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $$R$$ и $$r$$. Для этого строим прямоугольный треугольник с катетами, равными данным радиусам, и проводим окружность с найденным радиусом $$x$$.

б) Пусть радиус данного полукруга равен $$R$$, а радиус искомого круга равен $$x$$. Тогда

$$\pi x^2=\frac{\pi R^2}{2}.$$

Следовательно,

$$x^2=\frac{R^2}{2}, \qquad x=\frac{R}{\sqrt{2}}.$$

То есть искомый радиус равен половине диагонали квадрата со стороной $$R$$. Построим квадрат со стороной, равной радиусу данного полукруга, и возьмём его диагональ; половина этой диагонали и будет искомым радиусом.

в) Пусть радиус данного сектора равен $$R$$, а его центральный угол равен $$60^\circ$$. Тогда площадь сектора:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi R^2}{6}.$$

Для искомого круга радиуса $$x$$ имеем

$$\pi x^2=\frac{\pi R^2}{6}.$$

Отсюда

$$x^2=\frac{R^2}{6}, \qquad x=\frac{R}{\sqrt{6}}.$$

Чтобы построить такой радиус, можно построить отрезок длины $$\sqrt{6}$$ и затем отложить на луче от центра отрезок длины $$\frac{R}{\sqrt{6}}$$. После этого проводим окружность с найденным радиусом.