Упр.1408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.

1) Найдём $$OA$$:

$$OA=R\cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}R.$$

Тогда

$$AB=OA+OB=\frac{\sqrt3}{2}R+R=\frac{\sqrt3+2}{2}R.$$

2) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2.$$

Так как $$BC=6R$$, получаем

$$AC^2=\left(\frac{\sqrt3+2}{2}R\right)^2+(6R)^2$$

$$=\frac{(\sqrt3+2)^2}{4}R^2+36R^2$$

$$=\frac{7+4\sqrt3}{4}R^2+36R^2=\frac{151+4\sqrt3}{4}R^2.$$

Следовательно,

$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}R.$$

3) Длина окружности радиуса $$R$$ равна $$2\pi R$$. Сравним коэффициенты:

$$\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}\approx 6{,}2832,$$

$$2\pi \approx 6{,}2832.$$

Разность этих величин меньше $$0{,}001$$, значит, длина отрезка $$AC$$ отличается от длины окружности радиуса $$R$$ менее чем на $$0{,}001R$$.

Итак, $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.